Как се пресмятат суми чрез метода на Гаус?

Знаете ли, че ако съберете числата от 1 до 100 ще получите 5050? И не е задължително да ги смятате едно по едно. Можете вместо това да използвате известния метод на Гаус.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 95 + 96 + 97 + 98 + 99 + 100 = ?

Гаус открил,че сборът на първото и последното число (1 + 100 = 101) е равен на сбора на второто и предпоследното (2 + 99 = 101). Така стигнал до извода, че всяка подобна двойка има еднакъв сбор (101).

След това е намерил броя на двойките (100 : 2 = 50) и го е умножил по сбора на двойките: 50 . 101 = 5050.

Линейни системи - Метод на Гаус

По метода на Гаус, за да решим задачите със суми, е достатъчно да видим колко двойки с еднакъв сбор имаме и умножим броят им по този сбор.

Как се решават задачи по метода на Гаус в няколко стъпки:

1. Определяме броят на всички числа, които участват в сумата. Ако нашето първо число не е 1, тогава от последното число вадим първото и да прибавяме 1.
Например:
5 + 6 + 7 + 8 + ... + 19 + 20 + 21
Намираме броя на числата в редичката ето така: (21 - 5) + 1 = 17

2. Определяме колко на брой са всички групи (двойки числа) в редичката, които имат един и същи сбор. Трябва да проверим дали броят на числата в редицата е четен или нечетен.
Ако броят на числата е четно число, като 100 например, тогава ще имаме 100 : 2 = 50 двойки числа с еднакъв сбор.
Ако броят на числата е нечетно число, тогава отделяме последното число и го дабавяме към сумата накрая.
Например, ако трябва да намерим сумата на числата от 1 до 101, ще имаме 100 : 2 = 50 двойки числа с еднакъв сбор и числото 101.

3. Намираме на колко е равен сборът на числата във всяка от двойките, като съберем първото и последното число.
Например:
1 + 2 + 3 + ... + 8 + 9 + 10
В тази редица имаме 5 двойки числа (10 : 2 = 5), а сборът на числата във всяка от групичките е 11 (10 + 1 = 11).

4. Умножаваме броят на групите със сбора на числата във всяка от групите и намираме сумата. Ако броят на числата е нечетно число и сме отделили последното число, го добавяме накрая!
Да се върнем на примера по- горе и да намерим сбора на числата от 1 до 101:
Броят на двойките е: 100 : 2 = 50 двойки числа + числото 101
Сборът на всяка група числа е: 100 + 1 = 101
Сумата в редицата е: (50 . 101) + 101 = 5050 + 101 = 5151


Вижте още:
Математика: подготовка за кандидатстване в математически гимназии